Estimador MCG

• El supuesto de observaciones i.i.d. puede ser apropiado cuando tenemos individuos que fueron seleccionados aleatoriamente de una población.
• Sin embargo, en varios casos en economía tenemos muestreos que difieren de este caso, e.g. observamos varios miembros de la misma familia, ó usamos series de tiempo.
• Cuando esto sucede los supuestos vistos para el estimador MCO no se cumplen y este estimador deja de ser el MELI.

• Para estos casos se usa el estimador de mínimos cuadrados generalizados el cual tiene supuestos menos restrictivos.
• Estos son:
1. \(E(\mathbf{U}|\mathbf{X}) = \mathbf{0}_n\).
2. \(E(\mathbf{U}\mathbf{U}'|\mathbf{X}) = \Omega(\mathbf{X})\), donde \(\Omega(\mathbf{X})\) es una matriz definida positiva de tamaño \(n \times n\) que puede depender de \(\mathbf{X}\).
3. \(\mathbf{X}\) y \(u_i\) satisfacen condiciones sobre los momentos, estas condiciones dependen de la forma funcional de \(\Omega(\mathbf{X})\).
4. \(\mathbf{X}\) tiene rango completo.

• Ahora, suponiendo que conocemos \(\Omega(\mathbf{X})\) y que tenemos una matriz \(\mathbf{F}\) tal que \(\mathbf{F}'\mathbf{F} =\Omega(\mathbf{X})^{-1}\).
• Estimamos el siguiento modelo de regresión, \[\begin{equation} \tilde{\mathbf{Y}} = \tilde{\mathbf{X}} \boldsymbol{\beta} + \tilde{\mathbf{U}} \end{equation}\] donde, \(\tilde{\mathbf{Y}} = \mathbf{F}\mathbf{Y}\), \(\tilde{\mathbf{X}} = \mathbf{F}\mathbf{X}\), y \(\tilde{\mathbf{U}} = \mathbf{F}\mathbf{U}\).

Con esto podemos calcular el estimador como, \[\begin{equation} \tilde{\boldsymbol{\beta}}^{MCG} = (\mathbf{X}'\mathbf{F}'\mathbf{F}\mathbf{X})^{-1}(\mathbf{X}'\mathbf{F}'\mathbf{F}\mathbf{Y}) \end{equation}\] tal que, \[\begin{equation} \tilde{\boldsymbol{\beta}}^{MCG} = (\mathbf{X}'\Omega^{-1}\mathbf{X})^{-1}(\mathbf{X}'\Omega^{-1}\mathbf{Y}) \end{equation}\]

Sin embargo, muchas veces si bien la forma funcional de \(\Omega\) es conocida los parámetros de esta no lo son.

Cuando \(\Omega\) es desconocido necesitamos un estimador \(\hat{\Omega}\), tal que \[\begin{equation} \tilde{\boldsymbol{\beta}}^{MCG} = (\mathbf{X}'\hat{\Omega}^{-1}\mathbf{X})^{-1}(\mathbf{X}'\hat{\Omega}^{-1}\mathbf{Y}) \end{equation}\] Este estimador es conocido como el estimador de MCG Factibles.

• Es importante examinar con un poco más de detalle el primer supuesto del estimador MCG, \(E(\mathbf{U}|\mathbf{X}) = \mathbf{0}_n\).
• Este supuesto requiere que los errores de la observación \(i\) no esta correlacionado con ningún regresor de otras observaciones.
• Este supuesto es dudosa en aplicaciones de serie de tiempo, ya que esto requiere que no exista correlación entre diferentes periodos de tiempo.
• En estos casos el MCO es consistente pero el MCG no lo es.

Errores HAC

En la literatura de series de tiempo, los errores estandares robustos a correlación serial son a veces llamados, HAC, por sus siglas en ingles (heteroskedasticity and autocorrelation consistent)

Estos empezaron con el trabajo de Newey & West (1987), quienes buscaban tratar con el problema de correlación serial y heteroscedasticidad propio de las series de tiempo.

Newey-West

El procedimiento de Newey-West comienza por mirar la varianza de \(\hat{\beta}\),

\[\begin{equation} \Sigma_{\hat{\beta}} = (X'X)^{-1}Var(X' U| X) (X'X)^{-1} \end{equation}\]

Newey-West entonces relajan el supuesto de homoscedasticidad sobre \(Var(X' U| X)\)

Si los errores son heteroscedasticos pero independientes, entonces,

\[\begin{equation} \hat{Var}(X' U| X) = \Sigma_{i=1}^n \hat{u}_i^2 x_i x_i' \end{equation}\]

así los errores estandar del estimado MCO, serían:

\[\begin{equation} \Sigma_{\hat{\beta}} = (X'X)^{-1} (\Sigma_{i=1}^n \hat{u}_i^2 x_i x_i') (X'X)^{-1} \end{equation}\]

Si los errores son heteroscedasticos y tienen auto-correlación, entonces,

\[\begin{equation} \hat{Var}(X' U| X) = \Sigma_{j=-k}^k \frac{k-|j|}{k} \left(\Sigma_{i=1}^n \hat{u}_i \hat{u}_{i+j} x_i x_{i+j}'\right) \end{equation}\]

así los errores estandar del estimado MCO, serían:

\[\begin{equation} \Sigma_{\hat{\beta}} = (X'X)^{-1} \left(\Sigma_{j=-k}^k \frac{k-|j|}{k} \left(\Sigma_{i=1}^n \hat{u}_i \hat{u}_{i+j} x_i x_{i+j}'\right)\right) (X'X)^{-1} \end{equation}\]